Question

如圖，重為10N的勻質球，半徑R為6cm，放在墻與均勻的AB木板之間，A端鎖定并能轉動，B端用水平繩索BC拉住，板長AB=20cm，與墻夾角為α，如果不計木板的重量，則α為何值時，繩子拉力最小？最小值是多少？

Answer 1

分析：先求出木板對球的支持力為

N

，由動力矩等于阻力矩解出繩子的拉力為 

f

，再利用基本不等式求出 

f

 的最小值．

解答：解：如圖：設木板對球的支持力為

N

，則

N

=

10

sinα

，
設繩子的拉力為 

f

．
又AC=20cosα，AD=

6

tan α 2

，
由動力矩等于阻力矩得

f

×20cosα=

N

×

6

tan α 2

=

60

sinα•tan α 2

，
∴

f

=

60

20cosα•sinα•tan α 2

=

3

cosα(1-cosα)

≥

3

( cosα+1-cosα 2 )2

=

3

1 4

=12，
∴當且僅當 cosα=1-coaα  即cosα=

1

2

，亦即 α=60°時，

f

 有最小值12N．

點評：本題考查向量在物理中的應用，基本不等式ab≤(

a+b

2

)2的應用，體現了數形結合的數學思想．