Question

（理）如圖，P為△ABC所在平面外一點，且PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，過點A作垂直于PC的截面ADE，截面交PC于點D，交PB于點E．
（Ⅰ）求證：BC⊥PC；                         
（Ⅱ）求證：DE∥平面ABC；
（Ⅲ） 若點M為△PBC內的點，且滿足M到AD的距離等于M到BC的距離，試指出點M的軌跡是什么圖形，并說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵P為△ABC所在平面外一點，且PA⊥平面ABC
∴平面PAC⊥平面ABC
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC
∵平面PAC∩平面ABC=AC
∴BC⊥平面PAC
∵PC?平面PAC
∴BC⊥PC；                         
（Ⅱ）證明：∵PC⊥截面ADE，DE?截面ADE
∴PC⊥DE
∵BC⊥PC
∴DE∥BC
∵DE?平面ABC，BC?平面ABC
∴DE∥平面ABC；
（Ⅲ） 連接MD
∵PC⊥截面ADE，AD?截面ADE
∴AD⊥BC


∵BC⊥平面PAC，AD?平面PAC
∴AD⊥平面PBC
∵MD?平面PBC
∴AD⊥MD
∴MD為M到AD的距離
∵點M為△PBC內的點，且滿足M到AD的距離等于M到BC的距離
∴根據拋物線的定義，可知點M的軌跡是拋物線的一部分．