Question

（理）如圖，P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，過(guò)點(diǎn)A作垂直于PC的截面ADE，截面交PC于點(diǎn)D，交PB于點(diǎn)E．
（Ⅰ）求證：BC⊥PC；                         
（Ⅱ）求證：DE∥平面ABC；
（Ⅲ） 若點(diǎn)M為△PBC內(nèi)的點(diǎn)，且滿(mǎn)足M到AD的距離等于M到BC的距離，試指出點(diǎn)M的軌跡是什么圖形，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明線(xiàn)線(xiàn)垂直的關(guān)鍵是利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，因此只需要證明線(xiàn)面垂直即可，利用面面垂直的性質(zhì)可以證明；                         
（Ⅱ）證明線(xiàn)面平行的關(guān)鍵是利用線(xiàn)面平行的判定定理，因此只需要證明DE平行于平面ABC內(nèi)的一條直線(xiàn)即可；
（Ⅲ） 先證明AD⊥平面PBC，從而MD為M到AD的距離，因?yàn)辄c(diǎn)M為△PBC內(nèi)的點(diǎn)，且滿(mǎn)足M到AD的距離等于M到BC的距離，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，可知點(diǎn)M的軌跡是拋物線(xiàn)的一部分．

解答：（Ⅰ）證明：∵P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABC
∴平面PAC⊥平面ABC
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC
∵平面PAC∩平面ABC=AC
∴BC⊥平面PAC
∵PC?平面PAC
∴BC⊥PC；                         
（Ⅱ）證明：∵PC⊥截面ADE，DE?截面ADE
∴PC⊥DE
∵BC⊥PC
∴DE∥BC
∵DE?平面ABC，BC?平面ABC
∴DE∥平面ABC；
（Ⅲ） 解：連接MD
∵PC⊥截面ADE，AD?截面ADE
∴AD⊥BC
∵BC⊥平面PAC，AD?平面PAC
∴AD⊥平面PBC
∵M(jìn)D?平面PBC
∴AD⊥MD
∴MD為M到AD的距離
∵點(diǎn)M為△PBC內(nèi)的點(diǎn)，且滿(mǎn)足M到AD的距離等于M到BC的距離
∴根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，可知點(diǎn)M的軌跡是拋物線(xiàn)的一部分．

點(diǎn)評(píng)：本題以線(xiàn)面垂直為載體，考查線(xiàn)線(xiàn)垂直，線(xiàn)面平行，考查軌跡問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用線(xiàn)面垂直，線(xiàn)面平行的判定與性質(zhì)．