Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，-1），B點在直線y=-3上，M點滿足∥，，=•，M點的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P為C上的動點，l為C在P點處得切線，求O點到l距離的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設M（x，y），由已知得B（x，-3），A（0，-1）并代入∥，，=•，即可求得M點的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設P（x，y）為C上的點，求導，寫出C在P點處的切線方程，利用點到直線的距離公式即可求得O點到l距離，然后利用基本不等式求出其最小值．
解答：解：（Ⅰ）設M（x，y），由已知得B（x，-3），A（0，-1）．
所=（-x，-1-y），=（0，-3-y），=（x，-2）．
再由題意可知（）•=0，即（-x，-4-2y）•（x，-2）=0．
所以曲線C的方程式為y=-2．

（Ⅱ）設P（x，y）為曲線C：y=-2上一點，因為y′=x，所以l的斜率為x，
因此直線l的方程為y-y=x（x-x），即xx-2y+2y-x²=0．
則o點到l的距離d=．又y=-2，
所以d==≥2，
所以x²=0時取等號，所以O點到l距離的最小值為2．
點評：此題是個中檔題．考查向量與解析幾何的交匯點命題及代入法求軌跡方程，以及導數的幾何意義和點到直線的距離公式，綜合性強，考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．