Question

（2013•許昌三模）如圖，已知C是以AB為直徑的半圓O上一點，CH⊥AB于點H，直線AC與過B點的切線相交于點D，E為CH中點，連接AE并延長交BD于點F，直線CF交直線AB于點G．
（Ⅰ）求證：點F是BD中點；
（Ⅱ）求證：CG是圓O的切線．

Answer 1

分析：（1）由CH⊥AB，DB⊥AB，知△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，由此能夠證明點F是BD中點．
（2）連接CB、OC．由AB是直徑，知∠ACB=90°．由F是BD中點，知∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO，由此能證明CG是⊙O的切線．

解答：（1）證明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，
∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，
∴

EH

BF

=

AE

AF

=

CE

FD

．
又∵HE=EC，∴BF=FD，
故點F是BD中點．…（5分）
（2）證明：如圖，連接CB、OC．
∵AB是直徑，∴∠ACB=90°．
又∵F是BD中點，
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA
=∠CAB=∠ACO，
∴∠OCF=90°，
∴CG是⊙O的切線．…（10分）

點評：本題考查線段中點的證明，考查圓的切線的證明．解題時要認真審題，注意相似三角形、與圓有關的比例線段的合理運用．