Question

某工廠擬建一座平面圖為矩形，面積為200m²，高度一定的三段污水處理池（如圖）．由于受地形限制，其長、寬都不能超過16m，如果池的外壁的建造費單價為400元/m，池中兩道隔墻的建造費單價為248元/m，池底的建造費單價為80元/m²，試設計水池的長x和寬y（x＞y），使總造價最低，并求出這個最低造價．

Answer 1

分析：設水池的長為x，則寬為

200

x

，求出池外的造價；求出中間兩條隔墻的造價；求出池底的造價；將三個造價加起來即為總造價；據長、寬都大于0小于等于16求出定義域．求出導函數，判斷導函數在定義域上的符號，判斷出函數的單調性，利用單調性求出函數的最值．

解答：解：設污水池長為x m，則寬為

200

x

 m，設總價為Q（x），
則Q（x）=400（2x+2×

200

x

）+248×2×

200

x

+80×200=800（x+

324

x

）+16000
由題設條件

0＜x≤16 0＜ 200 x ≤16

∴12.5≤x≤16，即函數定義域為[12.5，16]
求導函數得：y′=800(1-

324

x2

)
當x∈[12.5，16]時，y'＜0；
故函數y=f（x）在[12.5，16]上是減函數．（10分）
∴當x=16時，y取得最小值，
此時ymin=800(16+

324

16

)+16000=45000，

200

x

=

200

16

=12.5
綜上，當污水處理池的長為16m，寬為12.5m時，總造價最低，最低為45000元．

點評：本題考查的重點是函數模型的構建，考查將實際問題中的最值問題轉化為數學中的函數最值，考查利用導函數的符號判斷函數的單調性、利用函數的單調性求出函數的最值，屬于中檔題．