Question

某工廠擬建一座平面圖（如圖所示）為矩形且面積為200m²的三級污水處理池，由于地形限制，長、寬都不能超過16m．如果池外周壁建造單價為每米400元，中間兩條隔墻建造單價為每米248元，池底建造單價為每平方米80元（池壁厚度忽略不計，且池無蓋）．
（1）寫出總造價y（元）與污水處理池長x（m）的函數關系式，并指出其定義域；
（2）求污水處理池的長和寬各為多少時，污水處理池的總造價最低？并求出最低總造價．

Answer 1

分析：（1）設水池的長為x，則寬為

200

x

，求出池外的造價；求出中間兩條隔墻的造價；求出池底的造價；將三個造價加起來即為總造價；據長、寬都大于0小于等于16求出定義域．
（2）求出導函數，判斷導函數在定義域上的符號，判斷出函數的單調性，利用單調性求出函數的最值．

解答：解：（1）因污水處理水池的長為xm，則寬為

200

x

m，總造價y=400(2x+2×

200

x

)+248×

200

x

×2+80×200=800(x+

324

x

)+16000．（5分）
由題設條件

0＜x≤16 0＜ 200 x ≤16，解得12.5≤x≤16

即函數定義域為[12.5，16]（7分）
（2）由（1）得y′=800(1-

324

x2

)（8分）
當x∈[12.5，16]時，y'＜0；
故函數y=f（x）在[12.5，16]上是減函數．（10分）
∴當x=16時，y取得最小值，
此時ymin=800(16+

324

16

)+16000=45000（元）此時

200

x

=

200

16

=12.5（13分）
綜上，當污水處理池的長為16m，寬為12.5m時，總造價最低，最低為45000元．（14分）

點評：本題考查將實際問題中的最值問題轉化為數學中的函數最值、利用導函數的符號判斷函數的單調性、利用函數的單調性求出函數的最值．