Question

（2013•成都模擬）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P、Q分別是AB、AA₁、C₁D₁、CC₁的中點，給出以下四個結論：①AC₁⊥MN； ②AC₁∥平面MNPQ； ③AC₁與PM相交； ④NC₁與PM異面．其中正確結論的序號是

①③④

．

Answer 1

分析：①要證A₁C⊥MN，由于AD₁∥MN，則只需證A₁C⊥AD₁，即只需證AD₁⊥面A₁CD即可；
②由于A₁C與MP交于一點，則A₁C與平面MNPQ相交；
③④判定空間中直線與直線之間的位置關系，要緊扣定義來完成．

解答：解：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∴A₁D⊥AD₁，
∵CD⊥面AA1D1D，AD1?面AA1D1D，
∴CD⊥AD₁，
∴AD₁⊥面A₁CD，∴A₁C⊥AD₁
∵M，N分別是AA₁，A₁D₁的中點，∴AD₁∥MN，即A₁C⊥MN，故①正確；
由于M，N，P，Q分別是AA₁，A₁D₁，CC₁，BC的中點，
則A₁C與PM相交，故②不正確，③正確；
∵N∉面ACC₁A₁，而M，P，C∈面ACC₁A₁，∴NC與PM異面，故④正確；
故答案為：①③④．

點評：本題考查的知識點是，判斷命題真假，同時考查了空間中直線與直線，直線與平面的位置關系，我們可以根據空間幾何中的定義，定理及常用結論對四個結論逐一進行判斷，可以得到正確的結果．