Question

已知f（x）=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx+d的圖象過原點，且在點（-1，f（-1））處的切線與x軸平行．對任意x∈R，都有x≤f′（x）≤

1

2

(x2+1)．
（1）求函數y=f（x）在點（1，f（1））處切線的斜率；
（2）求f（x）的解析式；
（3）設g（x）=12f（x）-4x²-3x-3，h(x)=

m

x

+x•lnx，對任意x1，x2∈[

1

2

，2]，都有h（x₁）≥g（x₂），求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）y=f（x）在點（1，f（1））處切線的斜率是f′（1），由x≤f′（x）≤

1

2

(x2+1)，得f′（1）的值；
（2）由f（x）求導函數f′（x），由f′（1）=1且f′（-1）=0，得a、b、c的關系式，又x≤f′（x）恒成立，可得a（或b）的值，從而得f（x）的解析式；
（3）由h（x₁）≥g（x₂），先求g（x）在閉區間[

1

2

，2]上的最大值g（x）_max，令h（x）≥g（x）_max恒成立，解得m的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數y=f（x）在點（1，f（1））處切線的斜率為k_切=f'（1），
又x≤f′（x）≤

1

2

(x2+1)，∴1≤f′(1)≤

1

2

(1+1)，∴k_切=f'（1）=1；
（2）∵f（x）=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx+d，∴f′（x）=ax²+bx+c，
由f′（1）=1且f′（-1）=0，得a+b+c=1，且a-b+c=0；
∴b=

1

2

    c=

1

2

-a，
∵對x∈R，x≤f′（x）恒成立．即：ax2-

1

2

x+

1

2

-a≥0恒成立，
∴

a＞0 △= 1 4 -4a( 1 2 -a)=4a2-2a+ 1 4 ≤0

；
∴a=

1

4

，∴f(x)=

1

12

x3+

1

4

x2+

1

4

x；
（3）∵g（x）=12f（x）-4x²-3x-3，
∴g（x）=x³+3x²+3x-4x²-3x-3=x³-x²-3；
∴g（x）_max=g（2）=1，
∴對[

1

2

，2]，h（x）≥1恒成立
即：m≥x-x²•lnx，
令p（x）=x-x²lnx，則p'（x）=1-2x•lnx-x．
由p'（1）=0，得x∈（1，2）時，p′（x）＜0，x∈（

1

2

，1）時，p′（x）＞0；
∴p（x）_max=p（1）=1，
∴m≥1，即m的取值范圍是{x|m≥1}．

點評：本題通過導數考查了求函數的斜率以及函數的解析式，不等式恒成立問題，是較難的題目．