Question

現有一批貨物用輪船甲地運往乙地距離為500海里，已知該船最大速度為45海里/小時，每小時運輸成本由燃料費用和其他費用組成．輪船每小時的燃料費用與輪船速度的平方成正比，其余費用為每小時960元．已知輪船速度為20海里/小時的全程運輸成本為
30000元．
（1）把全程運輸成本y（元）表示為速度x（海里/小時）的函數；
（2）為了使全程運輸成本最小，輪船應為多大速度行駛？

Answer 1

【答案】分析：（1）輪船每小時燃料費用為kx²（0＜x≤45），全程所用時間為小時，則全程運輸成本y=（每小時燃料費用+其余費用）×全程所用時間，代入整理可得函數y的解析式；
（2）由函數y的解析式，應用基本不等式，可以求得函數的最小值以及對應的x的值．
解答：解：（1）由題意得，每小時燃料費用為kx²（其中0＜x≤45），全程所用時間為小時；
則全程運輸成本為y=，x∈（0，45]；
當x=20時，y=30000，可得k=0.6；
故所求的函數為y=，x∈（0，45]；
（2）函數y=，
當且僅當，即x=40時取等號；
所以，當輪船的速度為40海里/小時時，所需成本最小．
點評：本題考查了運輸成本與速度關系的函數模型的應用，并應用基本不等式a+b≥2（a＞0，b＞0）求函數最值，是 基礎題目．