例1．a、b、c≥0，求證a3+b3+c3≥3abc．
【答案】分析：先將不等式的左側分解為三個立方和的形式，根據立方和公式展開，第一次使用基本不等式x2+y2≥2xy，再將三個式子相加，合理分組后，第二次使用基本不等式x2+y2≥2xy，化簡整理后，即可得到要證的結論．
解答：證明：∵a3+b3=（a+b）（a2+b2-ab）≥（a+b）ab （當且僅當a=b時“=”成立）
b3+c3=（b+c）（b2+c2-bc）≥（b+c）bc （當且僅當b=c時“=”成立）
c3+a3=（a+c）（c2+a2-ca）≥（c+a）ca （當且僅當c=a時“=”成立）
∴2（a3+b3+c3）≥a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2
=b（a2+c2）+a（b2+c2）+c（a2+b2）
≥2abc+2abc+2abc=6abc．（當且僅當a=b=c時“=”成立）
∴a3+b3+c3≥3abc．
點評：本題兩次使用了基本不等式x2+y2≥2xy（當且僅當x=y時“=”成立），要特別注意等號成立的條件．
