Question

17、例1．a、b、c≥0，求證a³+b³+c³≥3abc．

Answer 1

分析：先將不等式的左側分解為三個立方和的形式，根據立方和公式展開，第一次使用基本不等式x²+y²≥2xy，再將三個式子相加，合理分組后，第二次使用基本不等式x²+y²≥2xy，化簡整理后，即可得到要證的結論．

解答：證明：∵a³+b³=（a+b）（a²+b²-ab）≥（a+b）ab （當且僅當a=b時“=”成立）
b³+c³=（b+c）（b²+c²-bc）≥（b+c）bc （當且僅當b=c時“=”成立）
c³+a³=（a+c）（c²+a²-ca）≥（c+a）ca （當且僅當c=a時“=”成立）
∴2（a³+b³+c³）≥a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca²
=b（a²+c²）+a（b²+c²）+c（a²+b²）
≥2abc+2abc+2abc=6abc．（當且僅當a=b=c時“=”成立）
∴a³+b³+c³≥3abc．

點評：本題兩次使用了基本不等式x²+y²≥2xy（當且僅當x=y時“=”成立），要特別注意等號成立的條件．