Question

20、由部分自然數構成如圖的數表，用a_ij（i≥j）表示第i行第j個數（i，j∈N^*），使a_i1=a_ii=i，每行中的其余各數分別等于其“肩膀”上的兩個數的之和．設第n（n∈N^*）行中各數之和為b_n．
（1）求b₆；
（2）用b_n表示b_n+1；
（3）試問：數列{b_n}中是否存在不同的三項b_p，b_q，b_r（p，q，r∈N^*）恰好成等差數列？若存在，求出p，q，r的關系；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）注意觀察，尋找規律，求出b₆．
（2）b_n+1=a_（n+1）1+a_（n+1）2+…+a_{（n+1）（n+1）}=2（a_n1+a_n2+…+a_nn）+2
=2b_n+2．
（3）由題設知b_n+2=3•2^n-1?b_n=3•2^n-1-2，設p＞q＞r，{b_n}是遞增數列，由此能導出數列{b_n}中不存在不同的三項b_p，b_q，b_r恰好成等差數列．

解答：解：（1）b₆=6+16+25+25+16+6=94．（2分）
（2）b_n+1=a_（n+1）1+a_（n+1）2+…+a_{（n+1）（n+1）}=n+1+（a_n1+a_n2）+…+（a_n（n-1）a_nn）+n+1=2（a_n1+a_n2+…+a_nn）+2
=2b_n+2；（6分）
（3）∵b_n+1=2b_n+2，
∴b_n+1+2=2（b_n+2）（8分）
所以{b_n+2}是以b₁+2=3為首項，2為公比的等比數列，（9分）
則b_n+2=3•2^n-1?b_n=3•2^n-1-2．（11分）
若數列{b_n}中存在不同的三項b_p，b_q，b_r（p，q，r∈N^*）恰好成等差數列，
不妨設p＞q＞r，顯然{b_n}是遞增數列，則2b_q=b_p+b_r（12分）
即22（3•2^q-1-2）=（3•2^p-1-2）+（3•2^r-1-2），化簡得：2•2^q-r=2^p-r+1（*）（14分）
由于p，q，r∈N^*，且p＞q＞r，知q-r≥1，p-r≥2，
所以（*）式左邊為偶數，右邊為奇數，
故數列{b_n}中不存在不同的三項b_p，b_q，b_r（p，q，r∈N^*）恰好成等差數列．（16分）

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．