Question

已知數列{a_n}中的相鄰兩項a_2k-1，a_2k是關于x的方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的兩個根，且a_2k-1≤a_2k（k=1，2，3，…）．
（I）求a₁，a₃，a₅，a₇；
（II）求數列{a_n}的前2n項和S_2n；
（Ⅲ）記，，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）用解方程或根與系數的關系表示a_2k-1，a_2k，k賦值即可．
（2）由S_2n=（a₁+a₂）+…+（a_2n-1+a_2n）可分組求和．
（3）T_n復雜，常用放縮法，但較難．
解答：解：（I）解：方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的兩個根為x₁=3k，x₂=2^k，
當k=1時，x₁=3，x₂=2，所以a₁=2；
當k=2時，x₁=6，x₂=4，所以a₃=4；
當k=3時，x₁=9，x₂=8，所以a₅=8時；
當k=4時，x₁=12，x₂=16，所以a₇=12．
（II）解：S_2n=a₁+a₂++a_2n=（3+6++3n）+（2+2²++2ⁿ）=．
（III）證明：，
所以，．當n≥3時，，=，
同時，=．
綜上，當n∈N*時，．
點評：本題主要考查等差、等比數列的基本知識，考查運算及推理能力．本題屬難題，一般要求做（1），（2）即可，讓學生掌握常見方法，對（3）不做要求．