Question

已知數列{a_n}中的各項均為正數，且滿足a1=2，

an+1-1

an-1

=

2an

an+1

(n∈N*)．記b_n=a_n²-a_n，數列{b_n}的前n項和為x_n，且f(xn)=

1

2

xn．
（Ⅰ）數列{b_n}和{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：

n-1

2

＜

f(x1)

f(x2)

+

f(x2)

f(x3)

+…+

f(xn)

f(xn+1)

＜

n

2

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）整理

an+1-1

an-1

=

2an

an+1

得a_n+1²-a_n+1=2（a_n²-a_n），代入b_n=a_n²-a_n，中進而可知數列{b_n}是公比和首項均為2的等比數列，公比為2，進而數列{b_n}的通項公式可得．把b_n代入b_n=a_n²-a_n，求得a_n．
（2）根據等比數列求和公式可求的x_n，進而可知f（x_n）的解析式．進而可求得

f(xk)

f(xk+1)

結果小于

1

2

進而可知

f(x1)

f(x2)

+

f(x2)

f(x3)

+…+

f(xn)

f(xn+1)

＜

n

2

(n∈N*)，根據

f(xk)

f(xk+1)

=

2k-1

2k+1-1

=

1

2

-

1

2(2k+1-1)

大于

1

2

-

1

2k+1

，進而根據等比數列求和公式可證明

n-1

2

＜

f(x1)

f(x2)

+

f(x2)

f(x3)

++

f(xn)

f(xn+1)

．

解答：解：（I）

an+1-1

an-1

=

2an

an+1

?

a

2 n+1

-an+1=2(

a

2 n

-an)，
∵b_n=a_n²-a_n，b_n+1=2b_n，
∴數列{b_n}是公比和首項均為2的等比數列，
∴b_n=2ⁿ，
即

a

2 n

-an=2n?an=

1+ 1+2n+2

2

(∵an＞0).
（II）證明：因為等比數列{b_n}的前n項和xn=

2(2n-1)

2-1

=2n+1-2，
所以f（x_n）=2ⁿ-1．
故

f(xk)

f(xk+1)

=

2k-1

2k+1-1

=

2k-1

2(2k- 1 2 )

＜

1

2

，k=1，2，3，，n，
所以

f(x1)

f(x2)

+

f(x2)

f(x3)

++

f(xn)

f(xn+1)

＜

n

2

.
另一方面

f(xk)

f(xk+1)

=

2k-1

2k+1-1

=

1

2

-

1

2(2k+1-1)

，
=

1

2

-

1

2k+1+2kk+1-2

＞

1

2

-

1

2k+1

，k=1，2，，n.
∴

f(x1)

f(x2)

+

f(x2)

f(x3)

++

f(xn)

f(xn+1)

≥

n

2

-(

1

22

+

1

23

++

1

2n+1

)=

n

2

-

1

2

(1-

1

2n

)＞

n-1

2

.
∴

n-1

2

＜

f(x1)

f(x2)

+

f(x2)

f(x3)

++

f(xn)

f(xn+1)

＜

n

2

.

點評：本題主要考查了數列的遞推式．數列的通項公式和求和問題與不等式、對數函數、冪函數等問題綜合考查是近幾年高考的熱點題目．