Question

15．已知函數y=f（x）滿足f（x-1）=2x+3a，且f（a）=7．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若g（x）=x•f（x）+λf（x）+x在[0，2]上最大值為2，求實數λ的值．

Answer 1

分析 （1）根據配湊法即可求出函數的解析式，
（2）化簡g（x），根據二次函數的性質，分類討論即可求出λ的值，

解答 解：（1）f（x-1）=2x+3a=2（x-1）+3a+2，
則f（x）=2x+3a+2，
∵f（a）=7，
∴2a+3a+2=7，
解得a=1，
∴f（x）=2x+5，
（2）g（x）=x•f（x）+λf（x）+x=x（2x+5）+2λx+5λ=2x²+（6+2λ）x+5λ，
則其對稱軸為x=-$\frac{3+λ}{2}$，
當-$\frac{3+λ}{2}$≤0時，即λ≥-3時，函數g（x）在[0，2]上單調遞增，故g（x）_max=g（2）=9λ+20，
當-$\frac{3+λ}{2}$≥2時，即λ≤-7時，函數g（x）在[0，2]上單調遞減，故g（x）_max=g（0）=5λ，
當0＜-$\frac{3+λ}{2}$≤1時，即-5≤λ＜-3時，g（x）_max=g（2）=9λ+20，
當1＜-$\frac{3+λ}{2}$＜2時，即-7＜λ＜-5時，g（x）_max=g（0）=5λ，
故，當λ≥-5時，g（x）_max=g（2）=9λ+20=2，解得λ=-2，
當λ＜-5時，g（x）_max=g（0）=5λ=2，解的λ=$\frac{2}{5}$，舍去
綜上所述λ的值為-2

點評 本題考查了函數解析式的求法和二次函數的性質，關鍵時分類討論，屬于中檔題．