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15.已知函數y=f(x)滿足f(x-1)=2x+3a,且f(a)=7.
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)若g(x)=x•f(x)+λf(x)+x在[0,2]上最大值為2,求實數λ的值.

分析 (1)根據配湊法即可求出函數的解析式,
(2)化簡g(x),根據二次函數的性質,分類討論即可求出λ的值,

解答 解:(1)f(x-1)=2x+3a=2(x-1)+3a+2,
則f(x)=2x+3a+2,
∵f(a)=7,
∴2a+3a+2=7,
解得a=1,
∴f(x)=2x+5,
(2)g(x)=x•f(x)+λf(x)+x=x(2x+5)+2λx+5λ=2x2+(6+2λ)x+5λ,
則其對稱軸為x=-$\frac{3+λ}{2}$,
當-$\frac{3+λ}{2}$≤0時,即λ≥-3時,函數g(x)在[0,2]上單調遞增,故g(x)max=g(2)=9λ+20,
當-$\frac{3+λ}{2}$≥2時,即λ≤-7時,函數g(x)在[0,2]上單調遞減,故g(x)max=g(0)=5λ,
當0<-$\frac{3+λ}{2}$≤1時,即-5≤λ<-3時,g(x)max=g(2)=9λ+20,
當1<-$\frac{3+λ}{2}$<2時,即-7<λ<-5時,g(x)max=g(0)=5λ,
故,當λ≥-5時,g(x)max=g(2)=9λ+20=2,解得λ=-2,
當λ<-5時,g(x)max=g(0)=5λ=2,解的λ=$\frac{2}{5}$,舍去
綜上所述λ的值為-2

點評 本題考查了函數解析式的求法和二次函數的性質,關鍵時分類討論,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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