Question

解答題： 已知二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a,b,c均為實數),滿足a－b＋c＝0，對于任意實數x都有f(x)－x≥0，并且當x∈(0，2)時,有f(x)≤． (1) 求f(1)的值； (2) 證明：ac≥； (3) 當x∈[－2，2]且a＋c取得最小值時，函數F(x)＝f(x)－mx(m為實數)是單調的，求證：m≤－或m≥

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：∵對于任意x∈R，都有f(x)－x≥0,且當x∈(0,2)時, 有f(x)≤．令x＝1 ∴1≤f(1)≤． 即f(1)＝1．…………5分
(2)	解：由a－b＋c＝0及f(1)＝1． 有,可得b＝a＋c＝．…………7分 又對任意x,f(x)－x≥0,即ax2－x＋c≥0． ∴a＞0且△≤0． 即－4ac≤0,解得ac≥．…………9分
(3)	解：由(Ⅱ)可知a＞0,c＞0． a＋c≥2≥2·＝．…………10分 當且僅當時等號成立．此時 a＝c＝．…………11分 ∴f(x)＝x2＋x＋, F(x)＝f(x)－mx＝[x2＋(2－4m)x＋1]．…………12分 當x∈[－2,2]時，f(x)是單調的，所以F(x)的頂點一定在[－2，2]的外邊． ∴≥2．…………13分 解得m≤－或m≥．…………14分