Question

甲、乙、丙三人獨立參加入學考試合格的概率分別為

2

3

，

1

2

，

2

5

求：①三人中恰有兩人合格的概率；
②三人中至少有一人合格的概率．
③合格人數ξ的數學期望．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：三個人中恰有2個合格，包括三種情況即只有甲乙合格、只有甲丙合格、只有乙丙合格，并且這三種情況是互斥的，再根據相互獨立事件的概率乘法公式可得答案．
（2）由于事件“三人中至少有一人合格”與事件“三人都沒有合格”是對立事件，所以根據題意求出事件“三人都沒有合格的概率”，再求出事件“三人中至少有一人合格”的概率．
（3）由題意可得：合格人數ξ可能取的值為：0，1，2，3，再結合題中的條件與相互獨立事件的概率乘法公式分別求出它們發生的概率，進而求出ξ的數學期望．

解答：解：（1）由題意知本題是一個相互獨立事件，并且是研究同時發生的概率．
三個人中恰有2個合格，包括三種情況即只有甲乙合格、只有甲丙合格、只有乙丙合格，并且這三種情況是互斥的，
所以三人中恰有兩人合格的概率

2

3

×

1

2

×

3

5

+

2

3

×

1

2

×

2

5

+

1

3

×

1

2

×

2

5

=

2

5

．
所以三人中恰有兩人合格的概率為

2

5

．
（2）因為事件“三人中至少有一人合格”與事件“三人都沒有合格”是對立事件，
所以它們的概率之和為1．
因為三人都沒有合格的概率為：

1

3

×

1

2

×

3

5

=

1

10

，
所以三人中至少有一人合格的概率為

9

10

．
（3）由題意可得：合格人數ξ可能取的值為：0，1，2，3，
所以P（ξ=0）=

1

3

×

1

2

×

3

5

=

1

10

，P（ξ=1）=

2

3

×

1

2

×

3

5

+

1

3

×

1

2

×

2

5

+

1

3

×

1

2

×

3

5

=

11

30

，
P（ξ=2）=

2

3

×

1

2

×

3

5

+

2

3

×

1

2

×

2

5

+

1

3

×

1

2

×

2

5

=

2

5

，P（ξ=3）=

2

3

×

1

2

×

2

5

=

4

30

=

2

15

所以合格人數ξ的期望為：E（ξ）=0×

1

10

+1×

11

30

+2×

2

5

+3×

2

15

=

47

30

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握相互獨立事件的概率乘法公式與對立事件的定義，以及離散型隨機變量的期望，此題屬于中檔題．