Question

【題目】已知函數，，

（I）求函數的單調區間；

（II）若在恒成立，求的取值范圍；

（III）當，時，證明：

Answer 1

【答案】（I）見解析（II）（III）見解析

【解析】

（I）求導后，當時，恒成立，可知單調遞增；當時，求出的解，從而可判斷出的符號，從而得到的單調區間；（II）當時，可知；當時，，利用導數求解出使，的最大值，從而；當時，，可得，綜合上述結果，可求得；（III）由（II）可知只需證得在上恒成立即可；構造函數，利用導數可證得結果，從而原不等式成立.

（I）由題意知：

（1）當時，恒成立 在定義域上單調遞增

（2）當時，令，解得：

則，，變化情況如下表：

		極小值

的單調減區間為：，單調增區間為：

（II）（1）當時，原不等式化為：恒成立，可知

（2）當時，則，令

則

令，則

當時，，則

在上單調遞減

即 在上單調遞減

當時，

綜上所述：

（III）（1）當時，，則

由（II）可得時，

則只需證明：成立

令

當時，

在上單調遞增