Question

定義函數(shù)為的階函數(shù).

（1）求一階函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）討論方程的解的個數(shù)；

（3）求證：.

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)時,無單調(diào)區(qū)間；

當(dāng)時,的單增區(qū)間為單減區(qū)間為；

當(dāng)時,的單增區(qū)間為,單減區(qū)間為；

（2）當(dāng)時,方程有兩個不同解.當(dāng)時,方程有0個解.當(dāng)或時,方程有唯一；

（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)求導(dǎo)，對分情況討論；

(2)研究方程的解的個數(shù)，實質(zhì)就是研究函數(shù)的圖象.通過求導(dǎo)，弄清函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)值的范圍，結(jié)合圖象即可知道方程的解的個數(shù).

(3)將所要證明的不等式與題中函數(shù)聯(lián)系起來看，應(yīng)該考查的3階函數(shù)，且令，即.將這個函數(shù)求導(dǎo)得.由得

則在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減. 這樣可得的最大值，從而得到所要證明的不等式.

試題解析：(1),

令,當(dāng)時,

當(dāng)時,無單調(diào)區(qū)間；

當(dāng)時,的單增區(qū)間為單減區(qū)間為.

當(dāng)時,的單增區(qū)間為,單減區(qū)間為.            4分.

(2)由當(dāng)時,方程無解.當(dāng)時,

令則由得

從而在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.

當(dāng)時,，當(dāng)

當(dāng),即時,方程有兩個不同解.

當(dāng),即時,方程有0個解

當(dāng),或即或時,方程有唯一解.

綜上,當(dāng)時,方程有兩個不同解.當(dāng)時,方程有0個解.當(dāng)或時,方程有唯一解. 9分.

(3)特別地，當(dāng)時

由得.

由得

則在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.

即.又時,           14分.

考點：1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2、不等式的證明.