Question

定義函數(shù)為的階函數(shù).

（1）求一階函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）討論方程的解的個(gè)數(shù)；

（3）求證：.

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)時(shí),無單調(diào)區(qū)間；

當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為單減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為,單減區(qū)間為；

（2）當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不同解.當(dāng)時(shí),方程有0個(gè)解.當(dāng)或時(shí),方程有唯一；

（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)求導(dǎo)，對(duì)分情況討論；

(2)研究方程的解的個(gè)數(shù)，實(shí)質(zhì)就是研究函數(shù)的圖象.通過求導(dǎo)，弄清函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)值的范圍，結(jié)合圖象即可知道方程的解的個(gè)數(shù).

(3)待證不等式

可變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030605172678714283/SYS201403060521285058540406_DA.files/image014.png">，左右對(duì)照，考慮證：

再聯(lián)系到本題所給函數(shù)，可令，且研究的3階函數(shù)，即.

.由得

則在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.

即.又時(shí),

再令即得證.

試題解析：(1),

令,當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),無單調(diào)區(qū)間；

當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為單減區(qū)間為.

當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為,單減區(qū)間為.4分.

(2)由當(dāng)時(shí),方程無解.當(dāng)時(shí),

令則由得

從而在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí),，當(dāng)

當(dāng),即時(shí),方程有兩個(gè)不同解.

當(dāng),即時(shí),方程有0個(gè)解

當(dāng),或即或時(shí),方程有唯一解.

綜上,當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不同解.當(dāng)時(shí),方程有0個(gè)解.當(dāng)或時(shí),方程有唯一解.  9分.

(3)特別地：當(dāng)時(shí)由得.

由得

則在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.

即.又時(shí),   12分.

令，

則   14分.

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2、不等式的證明.