Question

已知拋物線C₁：y=x²+2x和C₂：y=-x²+a，如果直線l同時是C₁和C₂的切線，稱l是C₁和C₂的公切線．公切線上兩個切點間的線段，稱為公切線段．

　　(1)問a取何值時，拋物線C₁和C₂有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；

　　(2)若拋物線C₁與C₂有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分

Answer 1

答案：
解析：

(1)函數y=x2+2x的導數為y′=2x+2，故曲線C1在點P(x1，+2x1)的切線方程為 　　y=(2x1+2)x-　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　① 　　同理，曲線C2在點Q(x2，-+a)的切線方程為 　　y=-2x2x++a　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　② 　　由于C1和C2僅有一條公切線，所以①、②為同一方程， 　　故有，消去x2 　　得2+2x1+1+a=0 　　由D=0，得a=-，此時，x1=-，P與Q重合． 　　故當a=-時，拋物線C1和C2有且僅有一條公切線，其公切線方程為y=x-． 　　(2)由(1)知，當a＜-時，C1與C2有兩條公切線．設一條公切線上的切點為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中P在C1上，Q在C2上，則有x1+x2=-1，y1+y2=(+2x1)+(-+a)=+2x1 -(x1+1)2+a=-1+a 　　所以線段PQ的中點為(，)． 　　同理另一條公切線段P′Q′的中點也是(，) 　　故公切線段PQ和P′Q′互相平分．