Question

已知關于x的一元二次函數f（x）=ax²-bx+1，設集合P={1，2，3}，Q={-1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數作為a和b．
（1）求函數y=f（x）有零點的概率；
（2）求函數y=f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率．

Answer 1

分析：利用乘法原理可求出基本事件的總數．（1）利用一元二次方程有實數根（函數有零點）的充要條件即可得出所包括基本事件的個數；
（2）利用二次函數的單調性即可得出所包括的基本事件的個數．

解答：解：（a，b）共有（1，-1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，-1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，-1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）15種情況．
（1）滿足△=b²-4a≥0，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6種情況．
∴函數y=f（x）有零點的概率P=

6

15

=

2

5

．
（2）二次函數f（x）=ax²-bx+1的對稱軸x=

b

2a

，
∵函數y=f（x）在區間[1，+∞）上是增函數，∴

b

2a

≤1，
有（1，-1），（1，1），（1，2），（2，-1），（2，1），（2，2），（2，30，（2，4），（3，-1），（3，-1），（3，2），
（3，3），（3，4），共13種情況．
∴函數y=f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率P=

13

15

．

點評：爽了掌握乘法原理、一元二次方程有實數根（函數有零點）的充要條件、二次函數的單調性、古典概型的計算公式是解題的關鍵．