Question

（2011•江西模擬）如圖，△ABC為一個等腰三角形的空地，底邊AB長為4（百米），腰長為3（百米），現決定在空地上修一條筆直的小路EF（寬度不計），將該空地分成一個四邊形和一個三角形，設分成的四邊形和三角形周長相等，面積分別為S₁和S₂，
（1）若小路一端E為AC中點，求小路的長度；
（2）求

S1

S2

的最小值．

Answer 1

分析：（1）小路一端E為AC中點，則F在BC，利用四邊形和三角形周長相等．求出CF，然后求出cosC，利用余弦定理求小路EF的長度；
（2）若E、F在兩腰上，設CE=x，CF=y，表示出

S1

S2

的表達式，通過基本不等式求出最小值．
若點E、F在一腰和底上，設E在CA上，F在AB上，設AE=x，AF=y，表示出

S1

S2

的表達式，通過基本不等式求出最小值．

解答：解：（1）易知F在BC上，則AB+BF+FE+AE=EC+EF+CF，∵E為AC中點，∴AE=EC，
BF=4-CF，上式化為BF=

1

2

，即CF=

7

2

，cosC=

1 2 BC

AC

=

2

3

，
根據余弦定理，EF²=CF²+CE²-2CF•CEcosC=(

7

2

)2+(

3

2

)2-2×

7

2

×

3

2

×

2

3

=

30

4

，
∴EF=

30

2

（2）若E、F在兩腰上，設CE=x，CF=y，
∴x+y=5，

S1

S2

=

S△CAB-S2

S2

=

1 2 CA•CB•sinC

1 2 x•y•sinC

-1=

9

xy

-1≥

9

( x+y 2 )2

-1=

11

25

當且僅當x=y=

5

2

時取“=”號
若點E、F在一腰和底上，設E在CA上，F在AB上，設AE=x，AF=y，
∴x+y=5，

S1

S2

=

S△CAB-S2

S2

=

1 2 AC•AB•sinA

1 2 x•y•sinA

-1=

12

xy

-1≥

12

( x+y 2 )2

-1=

23

25

當且僅當x=y=

5

2

時取“=”號
所以最小值為

11

25

．

點評：本題是中檔題，考查三角形的解法，余弦定理、基本不等式的應用，分類討論思想的應用，考查計算能力．