Question

已知命題P：函數f(x)=log

1

2

 (x2-2ax+3)在（-∞，1]內為單調遞增函數，命題Q：函數f（x）=x|x-a|+2x在R上單調遞增；
（1）若命題Q為真，求實數a的范圍；
（2）若p∨q為真，p∧q為假，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對a分類討論：f（x）=x|x-a|+2x=

x2+(2-a)x，當x≥a時 -x2+(2+a)x，當x＜a時

，由命題Q：函數f（x）在R上是增函數，則

a≥- 2-a 2 a≤ 2+a 2

解出即可．
（2）先化簡命題P，由命題p∨q為真，p∧q為假，等價于

p真 ￢q真

或

￢p真 q真

．解出即可．

解答：解：（1）f（x）=x|x-a|+2x=

x2+(2-a)x，當x≥a時 -x2+(2+a)x，當x＜a時

，
由命題Q：函數f（x）在R上是增函數，則

a≥- 2-a 2 a≤ 2+a 2

解得-2≤a≤2，
∴a的取值范圍是-2≤a≤2．
（2）由已知命題P：函數f(x)=log

1

2

 (x2-2ax+3)在（-∞，1]內為單調遞增函數，
∴函數g（x）=x²-2ax+3在（-∞，1]內大于零且單調遞減，
∴

g(1)＞0 1≤- -2a 2

，解得1≤a＜2．
∵命題p∨q為真，p∧q為假，∴等價于

p真 ￢q真

或

￢p真 q真

．
由

p真 ￢q真

解得-2≤a＜1或a=2；
或

￢p真 q真

．解得a∈Φ．
綜上可知實數a的取值范圍是[-2，1）∪{2}．

點評：本題綜合考查了函數的性質和復合命題的真假，掌握以上知識及分類討論的思想方法是解決問題的關鍵．