Question

【題目】如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是邊長為 的正方形，AA1=3，點F在棱B1B上運動．

（1）若三棱錐B1﹣A1D1F的體積為 時，求異面直線AD與D1F所成的角
（2）求異面直線AC與D1F所成的角．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是邊長為 的正方形，

∴ = =1，

∵AA1=3，點F在棱B1B上運動，三棱錐B1﹣A1D1F的體積為 ，

∴ ×B1F= = ，

∴BF=3﹣2=1，

以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，

DD1為z軸，建立空間直角坐標系，

由A（ ,0,0），D（0，0，0），

D1（0，0，3），F(xiàn)（ , ,1），

=（﹣ ,0,0），

=（ , ,-2），

設(shè)異面直線AD與D1F所成的角為θ，

則cosθ= = = ，∴θ=60°．

∴異面直線AD與D1F所成的角為60°

（2）解：C（0， ，0）， =（﹣ , ，0）， =（ , ,-2），

∵ =﹣2+2+0=0，

∴異面直線AC與D1F所成的角為90°．

【解析】（1）求出BF=1，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AD與D1F所成的角．（2）求出 =（﹣ , ，0）， =（ , ,-2），利用向量法能求出異面直線AC與D1F所成的角的大小．
【考點精析】利用棱柱的結(jié)構(gòu)特征和異面直線及其所成的角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形；異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系．