Question

如圖，平行四邊形ABCD中，CD=1，∠BCD=60，且BD⊥CD，正方形ADEF和平面ABCD成直二面角，G，H是DF，BE的中點．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面CDE；
（Ⅱ）求證：GH∥平面CDE；
（Ⅲ）求三棱錐D-CEF的體積．

Answer 1

分析：（I）要證明線與面垂直，只要在面上找兩條相交直線與這條直線垂直就可以，根據題意選擇ED，CD這兩條直線，有條件得到線與線垂直，根據線與面垂直的判定定理得到結論．
（II）要證明線與面平行，只要證明在這個平面上有一條直線與直線平行就可以，在三角形中一般有中點找中點，利用中位線平行得到結果，注意指明線不在面上．
（III）要求三棱錐的體積，關鍵是選擇合適的底面，即可以求出面積的底面與高，本題選擇了三角形DEF為底面，利用三棱錐的體積公式得到結果．

解答：解：（Ⅰ）證明：平面ADEF⊥ABCD平面，交線為AD
∵ED⊥AD
∴ED⊥平面ABCD
∴ED⊥BD
又∵BD⊥CD
∴BD⊥平面CDE
（Ⅱ）證明：連接EA，則G是AE的中點
∴△EAB中，GH∥AB
又∵AB∥CD
∴GH∥CD
GH?平面CDE平面
∴GH∥平面CDE平面
（Ⅲ）設Rt△BCD中BC邊上的高為h
∵

1

2

•2•h=

1

2

•1•

3

∴h=

3

2

∴點C到平面DEF的距離為

3

2

∴V_D-CKF=VC-DKF

1

2

•

1

3

•2•2

3

2

=

3

3

點評：本題考查空間中直線與平面之間的關系，本題考查的知識點比較全面，是一個非常符合高考題目的題，這種題目一般解起來比較簡單，只要注意解題的格式就沒有問題．