Question

【題目】

如圖，在四面體中，、分別是、的中點，、分別是和上的動點，且與相交于點．下列判斷中：

①直線經過點；

②；

③、、、四點共面，且該平面把四面體的體積分為相等的兩部分．

所有正確的序號為

__________．

Answer 1

【答案】①③

【解析】

通過平面的基本性質與推論很容易證明三線共點，①正確；兩個三角形的面積，一個為定值，另一個不是定值，②不正確；通過K點的特殊位置和運動，空間想象體積的變化，通過嚴謹的邏輯推理，得出結論③正確.

①項，因為，所以，且平面，

平面

同理可得， 平面；

又因為平面平面，所以，

所以，，三條直線相交于同一點.故①正確.

②項，為定值，為上的動點，又因為與為異面直線，

所以到的距離是變化的，所以是變化的，故②不正確.

③ 項，當K與D重合時，H與D重合，G與C重合，如圖（1）所示

此時平面EGFH即為平面ECD，

因為E為AB 中點，所以平面ECD把四面體分成體積相等的兩部分.

圖（1）

當K遠離D時，平面EGFH使兩部分體積發生了變化，

一部分在三棱錐A-ECD的基礎上，

多出了一個三棱錐E-GCF的體積，如圖2

少了一個三棱錐E-FDH的體積，如圖3所示，

過點D做，分別交EK，GK于點M，N，

連接MN，如圖4所示

，

， ，

，

，

所以無論、、、如何變化，平面把四面體的體積分為相等的兩部分，③正確.

故答案為：①③