Question

（2012•湛江一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一焦點為F₁（-1，0），長軸長為2

2

，過原點的直線y=kx（k＞0）與C相交于A、B兩點（B在第一象限），BH垂直x軸，垂足為H．
（1）求橢圓C的方程；
（2）當k變化時，求△ABH面積的最大值；
（3）過B作直線l垂直于AB，已知l與直線AH交于點M，判斷點M是否在橢圓C上，證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）利用已知焦點為F₁（-1，0），長軸長為2

2

，即可得到c=1，2a=2

2

，及b²=a²-c²即可得出；
（2）由對稱性可設A（-x₀，-y₀），B（x₀，y₀），聯立

y=kx x2 2 +y2=1

即可得出點B的坐標，再利用S_△ABH=2S_△BOH=x₀y₀及基本不等式即可得出；
（3）點M在橢圓上．利用直線垂直于斜率的關系可得k_AB•k_l+1=0，進而得出直線AH的斜率與l的斜率關系，再利用三點AHM共線斜率相等及點B在橢圓上滿足橢圓的方程即可得出點M的坐標也滿足橢圓的方程即可．

解答：解：（1）依題意c=1，a=

2

，b2=a2-c2=1，
即C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）由對稱性可設A（-x₀，-y₀），B（x₀，y₀），由

y=kx x2 2 +y2=1

得x02=

2

1+2k2

，y02=

2k2

1+2k2

則S△ABH=2S△BOH=x0•y0=

2k

1+2k2

=

2

1 k +2k

≤

2

2 1 k •2k

=

2

2

（當且僅當k=

2

2

時取等號），即△ABH面積的最大值是

2

2

．
（3）點M在橢圓C上，以下證明：
設M（x₁，y₁），由H（x₀，0），則AH的斜率k1=

y0

2x0

=

k

2

顯然BM有斜率k2=

y1-y0

x1-x0

∵l⊥AB，k₂k+1=0即2k₁k₂+1=0…①
又2k1k2+1=2

y1-y0

x1-x0

•

y1-(-y0)

x1-(-x0)

+1=

(x12+2y12)-(x02+2y02)

x12-x02

…②
由①②得x12+2y12=x02+2y02．
∵B（x₀，y₀）在橢圓

x2

2

+y2=1上
∴x02+2y02=2，代入上式得x12+2y12=2，即

x12

2

+y12=1
∴點M在橢圓C上．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到交點坐標、點在橢圓上與點的坐標與橢圓的方程得關系、直線的斜率計算公式等基礎知識與基本技能，考查了分析問題和解決問題的能力、推理能力和計算能力．