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(2012•湛江一模)三棱錐P-ABC中,PA=AC=BC=2,PA⊥平面ABC,BC⊥AC,D、E分別是PC、PB的中點(diǎn).
(1)求證:DE∥平面ABC;
(2 )求證:AD⊥平面PBC;
(3)求四棱錐A-BCDE的體積.
分析:(1)根據(jù)三角形中位線定理可得DE∥BC,進(jìn)而由線面平行的判定定理可得DE∥平面ABC;
(2)根據(jù)等腰三角形三線合一可得AD⊥PC,結(jié)合PA⊥平面ABC,BC⊥AC,可證得BC⊥平面PAC,進(jìn)而可得AD⊥BC,由線面垂直的判定定理可得AD⊥平面PBC;
(3)由已知可判斷四棱錐A-BCDE的底面為直角梯形,高為AD,求出底面積和高后代入體積公式可得答案.
解答:證明:(1)∵D、E分別是PC、PB的中點(diǎn)
∴DE∥BC
又∵DE?平面ABC,BC?平面ABC,
∴DE∥平面ABC
(2)∵PA=AC,D為PC的中點(diǎn)
∴AD⊥PC
PA⊥平面ABC,
∴PA⊥BC
又∵BC⊥AC,PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC
∵AD?平面PAC
∴AD⊥BC
又∴BC∩PC=C
∴AD⊥平面PBC;
解:(3)∵在PA=AC=BC=2,
∴等腰直角三角形PAC中,AD=CD=
2

直角梯形BCDE中,DE=
1
2
BC=1,CD=
2

∴直角梯形BCDE的面積S=
3
2
2

∴四棱錐A-BCDE的體積V=
1
3
S•AD=1
點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)是平面與平面垂直的判定,直線與平面垂直的判定,其中熟練掌握空間直線與平面位置關(guān)系的幾何特征及判定定理,以及錐體的體積公式是解答的關(guān)鍵.
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