Question

已知A、B、C是直線l上的不同的三點，O是直線外一點，向量、、滿足，記y=f（x）．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）若，，證明：不等式|a-lnx|＞ln[f′（x）-3x]成立；
（3）若關于x的方程f（x）=2x+b在[0，1]上恰有兩個不同的實根，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據 表示出向量 ，再由A，B，C三點共線可得到關系式 ，整理即可得到答案．
（2）由，，可知a＞lnx，由（1）得，所以要證原不等式成立，只須證：，構造函數，利用函數在上均單調遞增，則求出函數的最大值即可證得．
（3）將函數f（x）的解析式代入f（x）=2x+b中，整理可得 ，然后令 ，根據導數判斷其單調性并求出其單調區間，即可求得函數φ（x）的最小值，再根據在[0，1]上恰有兩個不同的實根結合函數的性質求出答案．
解答：解：（1）由題意，
∵A、B、C三點共線，
∴
∴
（2）∵，，則a＞lnx
又由（1）得，，，則
∴要證原不等式成立，只須證：（*）
設．
∵
∴h（x）在上均單調遞增，則h（x）有最大值，
又因為，所以a＞h（x）在恒成立．
∴不等式（*）成立，即原不等式成立．
（3）方程f（x）=2x+b即，令，
∴
當時，ϕ′（x）＜0，ϕ（x）單調遞減，
當時，ϕ′（x）＞0，ϕ（x）單調遞增，
∴ϕ（x）有極小值為=即在[0，1]上的最小值．
又ϕ（0）=ln2，，又-ln2=
∴ln5-＞ln2．
∴要使原方程在[0，1]上恰有兩個不同實根，必須使ln2．
點評：本題以向量為依托，考查向量在幾何中的應用以及利用導函數研究原函數的單調性，解題的關鍵是利用 A、B、C共線時，=λ +（1-λ） ，建立等式，同時證明不等式時利用了分離參數法，也是我們應該掌握的方法．