Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、P、Q分別是BC、C₁D₁、AD₁、BD的中點．
（1）求證：PQ∥平面DCC₁D₁；
（2）求證：AC⊥EF．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC，CD₁，由P，Q分別為AD₁、AC的中點，知PQ∥CD₁，由此能夠證明PQ∥平面DCC₁D₁．
（2）作CD中點H，連接EH，FH，由F，H分別是CD，C₁D₁的中點，知FHD₁D，由D₁D⊥面ABCD，知FH⊥面ABCD，故AC⊥FH，再由AC⊥BD，得到AC⊥平面EFH，由此能夠證明AC⊥EF．
解答：證明：（1）如圖所示，連接AC，CD₁，
∵P，Q分別為AD₁、AC的中點，∴PQ∥CD₁，
∵CD₁?平面DCC₁D₁，PQ?平面DCC₁D₁，
∴PQ∥平面DCC₁D₁．
（2）如圖，作CD中點H，連接EH，FH，
∵F，H分別是CD，C₁D₁的中點，∴在平行四邊形CDD₁C₁中，FHD₁D，
∵D₁D⊥面ABCD，∴FH⊥面ABCD，
∵AC?面ABCD，∴AC⊥FH，
又∵E，H分別為BC、CD的中點，
∴EH∥DB，
∵AC⊥BD，∴AC⊥平面EFH，
∵EF?平面EFH，∴AC⊥EF．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線垂直的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間問題為平面問題．