Question

（2005•海淀區二模）已知數列{an}中，a1=

1

2

，Sn為數列的前n項和，且S_n與

1

an

的一個等比中項為n（n∈N），則

lim

n→∞

Sn的值為（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  3

  2

• C．

  2

  3

• D．1

Answer 1

分析：由題意可得

Sn

an

=n2即Sn=n2an①，則Sn-1=(n-1)2an-1②（n≥2），兩式相減可得遞推式，利用累乘法可求得a_n，用裂項相消法可求得S_n，然后取極限即可求得答案．

解答：解：因為S_n與

1

an

的一個等比中項為n，
所以

Sn

an

=n2即Sn=n2an①，則Sn-1=(n-1)2an-1②（n≥2），
①-②得，an=n2an-(n-1)2an-1，
整理得，

an

an-1

=

n-1

n+1

（n≥2），
所以an=a1×

a2

a1

×

a3

a2

×…×

an

an-1

=

1

2

×

1

3

×

2

4

×

3

5

×…×

n-2

n

×

n-1

n+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（n≥2），
當n=1時a1=

1

2

適合上式，
所以an=

1

n

-

1

n+1

，
所以S_n=a₁+a₂+…+a_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

，
所以

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

(1-

1

n+1

)=1，
故選D．

點評：本題考查等比數列的中項性質、累乘法求數列通項及裂項相消法對數列求和，綜合性較強，熟練相關問題的基本方法是解決問題的根本．