Question

【題目】已知直三棱柱的底面是邊長為6的等邊三角形，是邊上的中點，點滿足，平面平面，求：

(1)側棱長；

(2)直線與平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】分析：(1)先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用向量垂直對應向量數量積為零列式解得豎坐標，即側棱長；(2)利用方程組解得平面一個法向量，由向量數量積得直線方向向量與平面一個法向量的夾角，最后根據直線與平面所成的角與向量夾角互余得結果.

詳解：

（1）如圖所示，以點為原點，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，.設側棱長為，則，.

∵ 平面，

∴ .

故要使平面平面，只需即可，就是當時，

則平面，

∴平面平面.

∴ ，即.

故側棱長為時，平面平面.

（2）設平面法向量為，

則，∴ .

，∴ .

取.

又，

∴ .

故直線與平面所成的角的正弦值為.