Question

設集合A={(x，y)|

m

2

≤(x-2)2+y2≤m2，x，y∈R}，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，則實數m的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據題意可把問題轉換為圓與直線有交點，即圓心到直線的距離小于或等于半徑，進而聯立不等式組求得m的范圍．

解答：解：依題意可知，若A∩B≠∅，則A≠∅，
必有

m

2

≤m2，解可得m≤0或m≥

1

2

，
此時集合A表示圓環內點的集合或點（2，0），集合B表示與x+y=0平行的一系列直線的集合，要使兩集合不為空集，需至少一條直線與圓有交點或點在某一條直線上，
①m=0時，A={（2，0）}，B={（x，y）|0≤x+y≤1}，
此時A∩B=∅，不合題意；
②當m＜0時，有|

2-2m

2

|＜-m且|

2-2m-1

2

|＜-m；
則有

2

-

2

m＞-m，

2

2

-

2

m＞-m，
又由m＜0，則2＞2m+1，可得A∩B=∅，不合題意；
③當m≥

1

2

時，有|

2-2m

2

|≤m或|

2-2m-1

2

|≤m，
解可得：2-

2

≤m≤2+

2

，1-

2

2

≤m≤1+

2

2

，
又由m≥

1

2

，則m的范圍是[

1

2

，2+

2

]；
綜合可得m的范圍是[

1

2

，2+

2

]；
故答案為[

1

2

，2+

2

]．

點評：本題主要考查了直線與圓的位置關系．一般是利用數形結合的方法，通過圓心到直線的距離來判斷．