Question

廣東某民營企業主要從事美國的某品牌運動鞋的加工生產，按國際慣例以美元為結算貨幣，依據以往加工生產的數據統計分析，若加工產品訂單的金額為X萬美元，可獲得的加工費近似地為

1

2

ln（2x+1）萬美元，受美聯儲貨幣政策的影響，美元?值，由于生產加工簽約和成品交付要經歷一段時間，收益將因美元賠值而損失mx萬美元，其中m為該時段美元的貶值指數是m∈（0，1），從而實際所得的加工費為f（x）=

1

2

ln（2x+1）-mx（萬美元）．
（1）若某時期美元貶值指數m=

1

200

，為確保企業實際所得加工費隨X的增加而增加，該企業加工產品訂單的金額X應在什么范圍內？
（2）若該企業加工產品訂單的金額為X萬美元時共需要的生產成本為

1

20

x萬美元，己知該企業加工生產能力為x∈[10，20]（其中X為產品訂單的金額），試問美元的貶值指數m在何范圍時，該企業加工生產將不會出現虧損．

Answer 1

分析：（1）由m=

1

200

，得f（x）=

1

2

ln（2x+1）-

x

200

，對f（x）求導，并令f^′（x）＞0，可解得x的值；即為所求．
（2）企業加工生產不出現虧損，即x∈[10，20]時，

1

2

ln（2x+1）-mx≥

1

20

x恒成立，通過變形，得

1

20

+m≤

ln(2x+1)

2x

，令g（x）=

ln(2x+1)

2x

，x∈[10，20]，對g（x）求導，得g^′（x）=

2x-(2x+1)ln(2x+1)

2x2(2x+1)

；再令h（x）=2x-（2x+1）ln（2x+1），對h（x）求導，得h^′（x）＜0，從而得h（x）在[10，20]上單調遞減，即h（20）≤h（x）≤h（10）＜0，所以x∈[10，20]時，g（x）單調遞減，從而得g_min（x）=g（20），即m≤g（20）-

1

20

；即得美元的貶值指數m的范圍．

解答：解：（1）由已知m=

1

200

，f（x）=

1

2

ln（2x+1）-

x

200

，（其中x＞0）；
∴f^′（x）=

1

2x+1

-

1

200

=

199-2x

200(2x+1)

；
由f^′（x）＞0，即199-2x＞0，解得0＜x＜99.5；
即加工產品訂單金額x∈（0，99.5）（單位：萬美元）時，該企業的加工費隨x的增加不斷增長．
（2）依題意，企業加工生產不出現虧損，則
當x∈[10，20]時，都有

1

2

ln（2x+1）-mx≥

1

20

x，即

1

20

+m≤

ln(2x+1)

2x

，
令g（x）=

ln(2x+1)

2x

，x∈[10，20]，則
g^′（x）=

2 2x+1 •x-ln(2x+1)

2x2

=

2x-(2x+1)ln(2x+1)

2x2(2x+1)

；
令h（x）=2x-（2x+1）ln（2x+1），則
h^′（x）=2-[2ln（2x+1）+（2x+1）

2

2x+1

]=-2ln（2x+1）＜0，
可知h（x）在[10，20]上單調遞減，從而h（20）≤h（x）≤h（10）；
又h（10）=20-21ln21＜21（1-ln21）＜0，
即x∈[10，20]時，知g（x）在[10，20]上單調遞減，
因此，g_min（x）=

ln41

40

，即m≤

ln41

40

-

1

20

；
故當美元的貶值指數m∈(0，

ln41-2

40

]時，該企業加工生產不會虧損．

點評：本題考查了導數在求函數最值問題中的應用：當導數大于0時，函數在該區間內單調遞增；導數小于0時，函數在該區間單調遞增．