Question

把長240cm，寬90cm的矩形鐵皮的四角切去相等的正方形，然后折成一個無蓋的長方體的盒子，角上切去的正方形的邊長為多少時，盒子的容積最大．最大容積是多少？

Answer 1

分析：根據題意先設正方形邊長為x，計算出鐵盒體積的函數解析式，再利用導數研究此函數的單調性，進而求得此函數的最大值即可．

解答：解：設切去的正方形的邊長為xcm，則折成的無蓋的長方體 底面邊長為（240-2x）cm和（90-2x）cm（2分），
高為xcm，于是盒子的容積（單位：cm³）V=（240-2x）（90-2x）x=4x³-660x²+21600x（4分）
又由x＞0，90-2x＞0，240-2x＞0，得0＜x＜45．V'=12x²-1320x+21600．（6 分）
令V'=0，得x²-110x+1800=0，（x-20）（x-90）=0，由0＜x＜45，解得x=20．（8分） 
當0＜x＜20時，V'＞0；20＜x＜45時，V'＜0，因此當x=20時，V有最大值（10分） 
最大容積V=200×50×20=200000（cm³）（12分）

點評：本題考查了導數在三次函數求最值問題時的實際應用，最大、最小值點通常存在于函數的導數等于0的點處，屬于中檔題．