Question

設數列{a_n}的各項都是正數，且對任意n∈N^*都有a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=s_n²其中s_n為數列{a_n}的前n項和．
（1）求證：a_n²=2s_n-a_n；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）令n=1代入a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，可得a₁的值，然后推出S_n-1²的表達式，與S_n²相減可得a_n²=2S_n-a_n，從而求證；
（2）由（1）得a_n²=2S_n-a_n利用遞推公式，得a_n-1²的表達式，從而可得數列a_n是首項為1，公差為1的等差數列．

解答：解：（1）由已知得，當n=1時，a₁³=S₁²=a₁²，
又∵a_n＞0，∴a₁=1
當n≥2時，a₁³+a₂³++a_n³=S_n²①
a₁³+a₂³++a_n-1³=S_n-1²②
由①-②得，a_n³=S_n²-S_n-1²=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）=a_n（S_n+S_n-1）
∴a_n²=S_n+S_n-1=2S_n-a_n（n≥2）
顯然當n=1時，a₁=1適合上式．
故a_n²=2S_n-a_n（n∈N^*）
（2）由（1）得，a_n²=2S_n-a_n③
a_n-1²=2S_n-1-a_n-1（n≥2）④
由③-④得，a_n²-a_n-1²=2S_n-2S_n-1-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1
∵a_n+a_n-1＞0∴a_n-a_n-1=1（n≥2）
故數列a_n是首項為1，公差為1的等差數列．
∴a_n=n（n∈N^*）

點評：本題主要考查了等比數列的性質及遞推公式的應用，難度比較大，此題綜合性較強，屬于中檔題．