Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ＜

π

2

|）的圖象與y軸交于點（0，

3

2

），它在y軸右側的第一個最大值點和最小值點分別為（x₀，3），（x₀+2π，-3）．

（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）用五點法作出函數在長度為一個周期的閉區間上的圖象，并說明它是由y=sinx的圖象依次經過哪些變換而得到的？

Answer 1

考點：五點法作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值，可得函數的解析式．
（Ⅱ）用五點法作出函數在一個周期上的簡圖，再根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，得出結論．

解答：解：（Ⅰ）由最大值點和最小值點的坐標可得A=3，
由在y軸右側的第一個最大值點和最小值點分別為（x₀，3），（x₀+2π，-3），
可得

T

2

=x0+2π-x0=2π，∴T=4π=

2π

ω

，從而ω=

1

2

．
又圖象與y軸交于點(0 ， 

3

2

)，∴

3

2

=3sinφ，sinφ=

1

2

．
∵|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

6

，故函數的解析式為f(x)=3sin(

1

2

x+

π

6

)．
（Ⅱ）列表：

x	- π 3	2π 3	5π 3	8π 3	11π 3
1 2 x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
y	0	3	0	-3	0

描點連線成圖，如圖所示：

將函數y=sinx的圖象向左平移

π

6

個單位，得到函數y=sin(x+

π

6

)的圖象；再將所得函數圖象上點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變）得到函數y=sin(

1

2

x+

π

6

)的圖象；最后將所得函數圖象上點縱坐標伸長為原來的3倍（橫坐標不變）得到函數y=3sin(

1

2

x+

π

6

)的圖象．

點評：本題主要考查函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，用五點法作函數在一個周期上的簡圖，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，屬于基礎題．