Question

（2012•江蘇一模）設P為函數y=

x

(x+1)圖象上異于原點的動點，且該圖象在點P處的切線的傾斜角為θ，則θ的取值范圍是

[

π

3

，

π

2

）

．

Answer 1

分析：由f′（x）=

3x+1

2 x

=

3

2

x

+

1

2 x

，再利用基本不等式求其范圍，從而得出切線的傾斜角為θ的正切值的取值范圍，而0≤θ＜π，從而可求θ的取值范圍．

解答：解：∵函數y=

x

(x+1)，
∴y′=

3x+1

2 x

=

3

2

x

+

1

2 x

≥2

3 2 x × 1 2 x

=

3

（當且僅當

3

2

x

=

1

2 x

取等號），
∴y′∈[

3

，+∞），
∴tanθ≥

3

，又0≤θ＜π，
∴

π

3

≤θ＜

π

2

．
故答案為：[

π

3

，

π

2

）．

點評：本題考查導數的幾何意義，關鍵在于通過導數解決問題，難點在于對切線傾斜角的理解與應用，屬于中檔題．