Question

【題目】 如圖，是等腰直角三角形，，，分別為的中點，沿將折起，得到如圖所示的四棱錐

（1）求證：平面；

（2）當四棱錐體積取最大值時，

(i) 寫出最大體積；

(ii) 求與平面所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）(i)最大體積為；(ii).

【解析】

（1）由翻折前后的不變性，得，，且，可證得；

（2）(i)當面底面時，四棱錐的體積達到最大；

(ii)當四棱錐體積取最大值時，可得平面ABFE.，以所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出平面的一個法向量和，再求兩個向量夾角的余弦值，進而得到線面角的正弦值。

證明：（1）因為是等腰直角三角形，，分別為的中點，

所以，，又因為，

所以，因為，

所以.

（2）(i) 當面底面時，四棱錐的體積達到最大，

則.

(ii) 因為四棱錐體積取最大值,所以平面ABFE.

分別以所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，

則,，，,，，.

設平面的一個法向量為,由得,

取，得．則，

所以，所以與平面所成角的正弦值為，

所以與平面所成角的大小為.