Question

如圖，在直三棱柱中，，，為棱 上的一點，分別為、的重心．
（1）求證：；
（2）若二面角的正切值為，求兩個半平面、所成銳二面角的余弦值；
（可選）若點在平面的射影正好為,試判斷在平面的射影是否為．

Answer 1

（1）證明：設的中點分別為
分別是的重心
三點共線，且
三點共線，且

在矩形中顯然有
;
（2）方法一：因為在之三棱柱中，由于，所以兩兩垂直故可以建立以為軸，為軸，為軸的空間直角坐標系，則有：，

可設點的坐標為，面的法向量為，

可以取
顯然面的法向量為
由二面角的正切值為，則易求得求二面角的余弦值為
.
即點為的中點；
同理可求得面的法向量
故
兩個半平面、所成銳二面角的余弦值．
方法二：連接，則在等腰中，
又易證：

為二面角的平面角
在中，,而在三角形中易求得
，即得到點是的中點
以下解法同解法一.

略