Question

【題目】已知直線被圓所截得的弦長為8.

（1）求圓的方程；

（2）若直線與圓切于點，當直線與軸正半軸，軸正半軸圍成的三角形面積最小時，求點的坐標.

Answer 1

【答案】(1)；(2)．

【解析】

試題分析：(1)利用點到直線的距離公式求出圓心到弦所在直線的距離，再利用弦長公式求出圓的半徑即可求解；(2)設出直線和圓的切點，求出切點坐標和切線方程，求出切線方程和坐標軸的交點坐標，利用直角三角形的面積公式得到表達式，再利用基本不等式求其最值．

試題解析：（1）因為圓的圓心到直線的距離為，………………1分

所以.………………2分

所以圓的方程.………………3分

（2）設直線與圓切于點，

則.………………4分

因為，所以圓的切線的斜率為.………………5分

則切線方程為，即.………………6分

則直線與軸正半軸的交點坐標為，與軸正半軸的交點坐標為.

所以圍成的三角形面積為.………………9分

因為，所以.

當且僅當時，等號成立.………………10分

因為，,所以，

所以.

所以當時，取得最小值18.………………11分

所以所求切點的坐標為.………………12分