Question

數列{a_n}是首項a₁=4的等比數列，且S₃，S₂，S₄成等差數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=log₂|a_n|，T_n為數列{

1

bn•bn+1

}的前n項和，求T_n．

Answer 1

分析：（ I）當q=1時，S₃=12，S₂=8，S₄=16，不成等差數列，當q≠1時利用等比數列的求出公式建立等式求出q，從而求出數列{a_n}通項公式；
（ II）求出b_n，代入

1

bnbn+1

得

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，然后利用裂項求和法求出前n項和即可．

解答：解 （ I）當q=1時，S₃=12，S₂=8，S₄=16，不成等差數列
當q≠1時，∵S₃，S₂，S₄成等差數列
∴2S₂=S₃+S₄
∴2

a1(1-q2)

1-q

=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q4)

1-q

得q=-2，
∴a_n=4×（-2）^n-1=（-2）ⁿ⁺¹
（ II）b_n=n+1，
∴

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

∴Tn=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

點評：本題主要考查了等比數列的通項公式，以及裂項求和法的應用，同時考查了分類討論的數學思想和計算能力，屬于中檔題．