Question

已知a為正實數，n為自然數，拋物線與x軸正半軸相交于點A，設f（n）為該拋物線在點A處的切線在y軸上的截距．
（Ⅰ）用a和n表示f（n）；
（Ⅱ）求對所有n都有成立的a的最小值；
（Ⅲ）當0＜a＜1時，比較與的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據拋物線與x軸正半軸相交于點A，可得A（），進一步可求拋物線在點A處的切線方程，從而可得f（n）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=aⁿ，則成立的充要條件是aⁿ≥2n+1，即知，aⁿ≥2n+1對所有n成立，當a=3，n≥1時，aⁿ=3ⁿ=（1+2）ⁿ≥1+=2n+1，當n=0時，aⁿ=2n+1，由此可得a的最小值；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a^k，證明當0＜x＜1時，，即可證明：＞．
解答：解：（Ⅰ）∵拋物線與x軸正半軸相交于點A，∴A（）
對求導得y′=-2x
∴拋物線在點A處的切線方程為，∴
∵f（n）為該拋物線在點A處的切線在y軸上的截距，∴f（n）=aⁿ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=aⁿ，則成立的充要條件是aⁿ≥2n+1
即知，aⁿ≥2n+1對所有n成立，特別的，取n=1得到a≥3
當a=3，n≥1時，aⁿ=3ⁿ=（1+2）ⁿ≥1+=2n+1
當n=0時，aⁿ=2n+1
∴a=3時，對所有n都有成立
∴a的最小值為3；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a^k，下面證明：＞
首先證明：當0＜x＜1時，
設函數g（x）=6x（x²-x）+1，0＜x＜1，則g′（x）=18x（x-）
當0＜x＜時，g′（x）＜0；當時，g′（x）＞0
故函數g（x）在區間（0，1）上的最小值g（x）_min=g（）=＞0
∴當0＜x＜1時，g（x）＞0，∴
由0＜a＜1知0＜a^k＜1，因此，
從而=
＞6（a+a²+…+aⁿ）==
點評：本題考查圓錐曲線的綜合，考查不等式的證明，考查導數的幾何意義，綜合性強，屬于中檔題．