Question

已知a為正實(shí)數(shù)，n為自然數(shù)，拋物線與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，設(shè)f（n）為該拋物線在點(diǎn)A處的切線在y軸上的截距．
（Ⅰ）用a和n表示f（n）；
（Ⅱ）求對(duì)所有n都有成立的a的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，比較與的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，可得A（），進(jìn)一步可求拋物線在點(diǎn)A處的切線方程，從而可得f（n）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=aⁿ，則成立的充要條件是aⁿ≥2n³+1，即知，aⁿ≥2n³+1對(duì)所有n成立，當(dāng)a=，n≥3時(shí)，aⁿ＞4ⁿ=（1+3）ⁿ＞2n³+1，當(dāng)n=0，1，2時(shí)，，由此可得a的最小值；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a^k，證明當(dāng)0＜x＜1時(shí)，，即可證明：．
解答：解：（Ⅰ）∵拋物線與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，∴A（）
對(duì)求導(dǎo)得y′=-2x
∴拋物線在點(diǎn)A處的切線方程為，∴
∵f（n）為該拋物線在點(diǎn)A處的切線在y軸上的截距，∴f（n）=aⁿ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=aⁿ，則成立的充要條件是aⁿ≥2n³+1
即知，aⁿ≥2n³+1對(duì)所有n成立，特別的，取n=2得到a≥
當(dāng)a=，n≥3時(shí)，aⁿ＞4ⁿ=（1+3）ⁿ≥1+=1+2n³+＞2n³+1
當(dāng)n=0，1，2時(shí)，
∴a=時(shí)，對(duì)所有n都有成立
∴a的最小值為；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a^k，下面證明：
首先證明：當(dāng)0＜x＜1時(shí)，
設(shè)函數(shù)g（x）=x（x²-x）+1，0＜x＜1，則g′（x）=x（x-）
當(dāng)0＜x＜時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)時(shí)，g′（x）＞0
故函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上的最小值g（x）_min=g（）=0
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）≥0，∴
由0＜a＜1知0＜a^k＜1，因此，
從而=≥=＞=
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的綜合，考查不等式的證明，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．