Question

如圖，ABCD為空間四邊形，點E，F分別是AB，BC的中點，點G，H分別在CD，AD上，且，．求證：直線EH，FG必相交于一點，且這個交點在直線BD上．

Answer 1

答案：
解析：

證明：如圖所示，因為點E，F分別是AB，BC的中點，從而可以得到EF∥AC．同理，因為點G，H分別在CD，AD上，且， 從而GH∥AC，故EF∥GH，從而直線EH，FG在同一平面上，又顯然EH，FG不平行，故它們必交于一點． 設直線EH與BD直交于點O，過點D作平行于直線AB的輔助線DI，交EO于點I．從而可以得到△AEH∽△DIH，又EA=EB，從而有BE∥DI且BE=2DI，故得DO=BD．同樣，設直線FG與BD相交于點，這點D作平行于直線BC的輔助線DJ，交FO于點J，利用相似三角形的性質也可以得到=BD，從而DO=，即點O與點重合，故直線EH，BD，FG相交于同一點O．