Question

已知橢圓

x2

3

+

y2

2

=1，斜率為k（k≠0）且不過原點的直線l交橢圓于A，B兩點，線段AB的中點為C，直線OC交橢圓左準線為點D（x₀，y₀），則x02+y02+k2的最小值為（　　）

Answer 1

分析：設直線l的方程為y=kx+b，（b≠0），代入橢圓方程，結合韋達定理求出C點的坐標，再求出D點的坐標（x₀，y₀），表示出則x02+y02+k2，利用基本不等式求最小值．

解答：解：設直線l的方程為y=kx+b，（b≠0），
則

y=kx+b 2x2+3y2=6

⇒（2+3k²）x²+6kbx+3b²-6=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x_C=

x1+x2

2

=-

3bk

2+3k2

，y_C=

2b

2+3k2

，
∵橢圓的右準線方程為x=-3，∴x₀=-3，
∴

y0

-3

=

yC

xC

⇒y₀=

6

3k

，
∴x02+y02+k²=9+

4

k2

+k²≥9+4=13，
當k=±2時 取“=”，
故選B．

點評：本題考查了直線與橢圓的位置關系，考查了基本不等式的應用，綜合性強，有一定的運算量，計算要細心．