Question

已知二次函數f（x）的二次項系數為a，且不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）．
（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有兩個相等的根，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）的最大值為正數，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）f（x）為二次函數且二次項系數為a，把不等式f（x）＞-2x變形為f（x）+2x＞0因為它的解集為（1，3），則可設f（x）+2x=a（x-1）（x-3）且a＜0，解出f（x）；又因為方程f（x）+6a=0有兩個相等的根，利用根的判別式解出a的值得出f（x）即可；（Ⅱ）因為f（x）為開口向下的拋物線，利用公式當x=時，最大值為=和a＜0聯立組成不等式組，求出解集即可．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）+2x＞0的解集為（1，3）．f（x）+2x=a（x-1）（x-3），且a＜0．因而f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax²-（2+4a）x+3a．①
由方程f（x）+6a=0得ax²-（2+4a）x+9a=0．②
因為方程②有兩個相等的根，所以△=[-（2+4a）]²-4a•9a=0，
即5a²-4a-1=0．解得a=1或a=-
由于a＜0，舍去a=1．將a=-代入①得f（x）的解析式
（Ⅱ）由
及a＜0，可得f（x）的最大值為就
由解得a＜-2-或-2+＜a＜0．
故當f（x）的最大值為正數時，實數a的取值范圍是
點評：考查學生函數與方程的綜合運用能力．