Question

已知：如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是CC₁的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC，BD的交點(diǎn)．
求證：A₁F⊥平面BED．

Answer 1

證明：AA₁⊥平面ABCD，AF是A₁F在面ABCD上的射影
又∵AC⊥BD，∴A₁F⊥BD
取BC中點(diǎn)G，連接FG，B₁G，
∵A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，F(xiàn)G⊥平面BCC₁B₁，
∴B₁G為A₁F在面BCC₁B₁上的射影，
又∵正方形BCC₁B₁中，E，G分別為CC₁，BC的中點(diǎn)，∴BE⊥B₁G，
∴A₁F⊥BE又∵EB∩BD=B，
∴A₁F⊥平面BED．